Тяготение шара

[gcugreyarea]

Коллеги, помогите пожалуйста, кто в интегралах разбирается?
Вот есть у меня в запасах такой замечательный калькулятор гравитации по Ньютону, удобный и научно-популярный:

http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/gravcalc.html

И для вычисления земного тяготения (параметры там указаны по умолчанию) он даёт весьма правдоподобные результаты.
Но!
По этому калькулятору получается, что если бы мы сжали Землю до размеров яблока, а сами остались от неё на расстоянии, соответствующем нынешней земной поверхности - действующая на нас сила тяготения не изменилась бы.
То есть планета там считается, как точечный объект.
Но если вы стоите на поверхности шара, и ваши размеры малы в сравнении с ним, это ведь не так!
Условно, если вы стоите на северном полюсе, то континентальная плита под ногами притягивает вас в сотни раз сильнее, чем континентальная плита на южном. Но можно предположить, что эти параметры компенсируются - и в сумме столб массы под вашими ногами притягивает вас точно так же, как и точечный объект на месте центра Земли.
Хотя компенсируются ли они на самом деле - я сходу не соображу.
Но! Континентальные плиты на экваторе притягивают вас под углом в СОРОК ПЯТЬ ГРАДУСОВ - и сумма этих векторов в (корень из двух) раз меньше, чем если бы эти плиты находились в ядре.
А расстояние до этих экваториальных плит - в (корень из двух) раз БОЛЬШЕ, чем если бы они находились в ядре. Что по тому же ньютоновскому закону означает, что притягивают они нас в два раза слабее!
Всё это, по идее, должно довольно сильно влиять на поверхностное тяготение - и "яблоко размером с Землю" будет притягивать нас сильнее, чем реальная Земля. Даже если мы остаёмся на поверхности прежней Земли, а не спускаемся в её бывшие недра.
Но вот НАСКОЛЬКО сильнее, тут уже мои математические мозги (вернее, тот рудимент, на месте которого должны находиться математические мозги) дают сбой.

Судя по тому, что ньютоновский калькулятор даёт "правильное" (реально-земное) ускорение свободного падения - либо разница не так велика, либо его автор где-то подтасовал параметры вычисления?

Comments

[i-ddragon.livejournal.com]

>>Но если вы стоите на поверхности шара, и ваши размеры малы в сравнении с ним, это ведь не так!

fixed:

Но если вы стоите на поверхности _ощутимо_ _неоднородного_ шара, и ваши размеры малы в сравнении с ним, это ведь не так!
А для однородного шара это так. А вот сам расчёт - увы, прямо сейчас не вспомню.

[gcugreyarea.livejournal.com]

В том-то и дело, что именно для ОДНОРОДНОГО шара тяготение должно быть слабее, чем для точечного объекта той же массы.

[i-ddragon.livejournal.com]

В том-то и дело, что для однородного - одинаково.

[antihydrogen.livejournal.com]

Нетрудно доказать (путем интегрирования по объему), что любой объект со сферически симметричным распределением массы за пределами своих границ создает гравитационную силу, равную силе, создаваемой материальной точкой, размещенной в центре объекта и имеющей ту же суммарную массу. Так что да, если Земля сколлапсирует в черную дыру, сила тяжести на расстоянии, равной ее современному радиусу, почти не изменится ("почти" возникает из-за того, что Земля все таки не идеально сферически симметрична).

[vkv.livejournal.com]

а вот интересно, у сферы дайсона будет притяжение на внутренней поверхности?

[gcugreyarea.livejournal.com]

Не будет. Те же хитрости с интегралами, только я их раньше узнал, чем про шар. Тяготение внутри замкнутой сферической полости всегда равно нулю во всех точках.

Всё верно считается.

[sanitareugen.livejournal.com]

Это фундаментальная особенность закона обратных квадратов. Равномерный шар (и даже шар с плотностью переменной, но зависящей только от близости слоя к центру) притягивает точно так же, как равная ему точечная масса в центре.

[dmitriyandreev.livejournal.com]

В общем, Вам уже ответили. Для однородного шара точка с его массой является достоверной моделью.